Navier-Stokes 方程 -- 概述

标准的 Navier-Stokes 方程

$$ \partial_t u + (u\cdot\nabla) u - \Delta u + \nabla p = 0 $$

简介

N-S 方程有两个未知量 速度场 $u(x,t)$ 和 标量压力场 $p(x,t)$, 给定初速度 $u_0(x,t)$ 来考虑在系统作用下 速度和压力随时空的变化(解/方程)。方程中，时间导数 $\partial_t u$ 和对流项 $(u\cdot\nabla) u$ 代表了物质导数，即流体关于时间变化下 物理量的全导数变化率，可以简单理解为加速度。加速度的产生来自应力，这里表现为压力差 $\nabla p$ ¹ 和 粘性摩擦 $-\Delta u$. 其中粘性项是使得方程解平稳、收敛的核心(可以理解为只有他是负的)。

因此有关粘性(摩擦)的强度(抽象为拉普拉斯算子的阶数)的临界就是非常重要的问题，强度越大越容易收敛；标准的千禧年问题是 阶数=1时只要初值满足一定条件下，存在全局唯一的光滑解且能量有界。研究更低阶是为了应用更多工具、更深刻的理解粘性项如何控制系统的。

关于流体所处的环境(只考虑三维)，非物理两个：全空间 $\mathbb{R}^3$ 和环面 $\mathbb{T}^3$；物理上：某个区域 $\Omega \subset \mathbb{R}^3$。

分别带有特殊的约束条件：无穷处收敛，零均值，Dirichlet 边界条件。

其中周期区域(环面)性质最好，可用的工具也就相对较多，是我们目前主要考虑的情况。

主流方法

目前主流的方法有很多，也取得了一定的成果，这里只从我涉及到的来介绍。

能量估计

能量估计是一种粗糙的方法，通过乘积积分来构造能量函数，再进行放缩、分析给出能量的有限性。给出的是整体的稳定性，不擅长刻解的局部连续性。

最基本的 $L^2$ 估计，乘上解本身再积分，描述了动能的有界。动能有界只能保证速度长本身。

在此之上 $H^1$ 估计，乘上耗散项再积分，加强对梯度项的约束，可以控制非线性项；可以定义散度、涡量等导数，有一定光滑性，局部结构可测；可以引入紧性，传递极限来得到收敛解。

此时对解的连续性几乎没有要求，只是在积分意义下成立。可以得到稳定的 Leray 弱解框架。

更高的 $H^2$ 估计，需估计涉及 $\nabla u$、$\Delta u$，甚至对时间导数 $\partial_t u$ 也要有控制 …

不断提升正则性，可以引入更多的工具，嵌入到更好的空间去得到连续性 …

调和分析

数值方法

PDE的数值方法一般都是逼近，在流体这块有专门的 CFD…